Read e-book online Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung PDF

By Artur Bergmann, Erich Baumgartner

ISBN-10: 3486721372

ISBN-13: 9783486721379

Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven state of affairs. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.

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Daher empfehlen wir, sich beim ersten Durcharbeiten auf den Fall der eigentlichen Parallelogramme zu konzentrieren und sich daran die jeweiligen Sachverhalte klar zu machen. Zur Erleichterung sind f¨ ur diesen Fall zahlreiche Skizzen eingef¨ ugt. 1 Definition von Parallelogrammen Definition : Es sei (P, Q, R, S) ein Quadrupel von Punkten einer affinen Ebene A = (P, G, ). (a) (P, Q, R, S) heißt ein eigentliches Parallelogramm (vgl. Figur 7), wenn P, Q, R, S nicht kollinear sind und P = Q, R = S, P = R und Q = S sind und g(P, Q) g(R, S) sowie g(P, R) g(Q, S) gelten.

Dann ist (P, Q, T, U ) ein uneigentliches Parallelogramm mit den Hilfspunkten (R, S) (vgl. Figur 13 b). 3 Eigenschaften von Parallelogrammen 35 2. Fall: Jetzt sei (P, Q, R, S) ein eigentliches und (R, S, T, U ) ein uneigentliches Parallelogramm (Figur 13 c). Nach Satz 1 ist dann auch (R, S, P, Q) ein eigentliches Parallelogramm. 2 ist dann auch (T, U, P, Q) und wieder nach Satz 1 auch (P, Q, T, U ) ein eigentliches Parallelogramm. 3. Fall: Ist (P, Q, R, S) ein uneigentliches und (R, S, T, U ) ein eigentliches Parallelogramm, so verl¨ auft der Beweis wie im 2.

1 (n¨ amlich (i) ⇔ (iii) ) schließen: Danach ist auch (R, S, P, Q) ein Parallelogramm und aus R = S folgt nach dem schon bewiesenen Teil dann P = Q. Zu (b) : Nach Voraussetzung ist P = R. Ist auch P = Q, so liegt ein ausgeartetes Parallelogramm mit P = Q = R = S vor. Im Fall P = Q muss es sich um ein uneigentliches Parallelogramm handeln. Hier liegen P, Q, R, S auf einer Geraden h und es gibt ein Punktepaar (V, W ), so dass (P, Q, V, W ) und (R, S, V, W ) = (P, S, V, W ) eigentliche Parallelogramme sind.

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Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung desarguesscher Ebenen by Artur Bergmann, Erich Baumgartner


by Paul
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